3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求める。 (3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求める。

(3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は正から負に変わるので、$f(x)$ は極大値をとる。

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は負から正に変わるので、$f(x)$ は極小値をとる。

$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 (1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 + 2\sqrt{3} - 1 + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -\frac{\sqrt{3}}{9} + \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{- \sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= \frac{\sqrt{3}}{9} - \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす $a$ を求める。

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$0 = 7a^3 - 9a^2 + 2a = a(7a^2 - 9a + 2)$

$0 = a(7a - 2)(a - 1)$

$a = 0, a = 1, a = \frac{2}{7}$

(3) $g(a)$ を求める。

$0 \le a \le 1$

$a \le x \le 2a$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解は $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$

$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577$

$x_1$ は極大値を与える。

$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値 $g(a)$ を求める。

$g(a)$ のグラフを描き、$g(a)$ の最大値を求める。

$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(2) = 0$

$a=0$ のとき、$f(0) = 0$ なので、$g(0) = 0$

$f(\frac{2}{7}) = (\frac{2}{7})^3 - 3(\frac{2}{7})^2 + 2(\frac{2}{7}) = \frac{8}{343} - \frac{12}{49} + \frac{4}{7} = \frac{8-84+196}{343} = \frac{120}{343}$

$a=1$ のとき、$f(1) = f(2) = 0$ なので、$g(1) = 0$

$g(a)$ は $a \le x \le 2a$ における最大値なので、

$f(x)$ が極大値をとる $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ が $a \le x \le 2a$ の範囲に含まれるかで場合分けする。

$a = 1-\frac{\sqrt{3}}{3}$のとき、$2a = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 0.846$

$2a > 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} > a$ になるのは、$a < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき。

$1-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$, $1+\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577$

$a=0$, $g(0)=0$

$a=0.423$付近で極大値$\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

$a=1$, $g(1)=0$

$y = g(a)$ のグラフの最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ において極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとり、$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ において極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

(2) $a = 0, 1, \frac{2}{7}$

(3) $y = g(a)$ の最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ である。