3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求める。 (3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。
2025/6/17
1. 問題の内容
3次関数 について、以下の問いに答える。
(1) の極大値と極小値を求める。
(2) を満たす実数 を求める。
(3) とし、 における の最大値を の関数 とする。 のグラフをかき、その最大値を求める。
2. 解き方の手順
(1) の極値を求める。
となる を求める。
のとき、 は正から負に変わるので、 は極大値をとる。
のとき、 は負から正に変わるので、 は極小値をとる。
(2) を満たす を求める。
(3) を求める。
の解は
は極大値を与える。
における の最大値 を求める。
のグラフを描き、 の最大値を求める。
, ,
のとき、 なので、
のとき、 なので、
は における最大値なので、
が極大値をとる が の範囲に含まれるかで場合分けする。
のとき、
になるのは、 のとき。
,
,
付近で極大値 をとる。
,
のグラフの最大値は である。
3. 最終的な答え
(1) において極大値 をとり、 において極小値 をとる。
(2)
(3) の最大値は である。