3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求める。 (3) $0 \le a \le 1$ とし、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

解析学3次関数極値最大値微分グラフ
2025/6/17

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x33x2+2xf(x) = x^3 - 3x^2 + 2x について、以下の問いに答える。
(1) f(x)f(x) の極大値と極小値を求める。
(2) f(a)=f(2a)f(a) = f(2a) を満たす実数 aa を求める。
(3) 0a10 \le a \le 1 とし、ax2aa \le x \le 2a における f(x)f(x) の最大値を aa の関数 g(a)g(a) とする。y=g(a)y = g(a) のグラフをかき、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) f(x)f(x) の極値を求める。
f(x)=3x26x+2f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
f(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める。
x=6±36246=6±126=6±236=3±33=1±33x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
x=133x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} のとき、f(x)f'(x) は正から負に変わるので、f(x)f(x) は極大値をとる。
x=1+33x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} のとき、f(x)f'(x) は負から正に変わるので、f(x)f(x) は極小値をとる。
f(133)=(133)33(133)2+2(133)f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})
=13+3393(1233+13)+2233= 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 (1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}
=13+393+231+2233= 1 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 + 2\sqrt{3} - 1 + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}
=39+3233=3+93639=239= -\frac{\sqrt{3}}{9} + \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{- \sqrt{3} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}
f(1+33)=(1+33)33(1+33)2+2(1+33)f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3})
=1+3+3+393(1+233+13)+2+233= 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}
=1+3+393231+2+233= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}
=393+233=393+639=239= \frac{\sqrt{3}}{9} - \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}
(2) f(a)=f(2a)f(a) = f(2a) を満たす aa を求める。
a33a2+2a=(2a)33(2a)2+2(2a)a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)
a33a2+2a=8a312a2+4aa^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a
0=7a39a2+2a=a(7a29a+2)0 = 7a^3 - 9a^2 + 2a = a(7a^2 - 9a + 2)
0=a(7a2)(a1)0 = a(7a - 2)(a - 1)
a=0,a=1,a=27a = 0, a = 1, a = \frac{2}{7}
(3) g(a)g(a) を求める。
0a10 \le a \le 1
ax2aa \le x \le 2a
f(x)=3x26x+2=0f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0 の解は x=1±33x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
x1=1330.423x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423
x2=1+331.577x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577
x1x_1 は極大値を与える。
ax2aa \le x \le 2a における f(x)f(x) の最大値 g(a)g(a) を求める。
g(a)g(a) のグラフを描き、g(a)g(a) の最大値を求める。
f(0)=0f(0) = 0, f(1)=0f(1) = 0, f(2)=0f(2) = 0
a=0a=0 のとき、f(0)=0f(0) = 0 なので、g(0)=0g(0) = 0
f(27)=(27)33(27)2+2(27)=83431249+47=884+196343=120343f(\frac{2}{7}) = (\frac{2}{7})^3 - 3(\frac{2}{7})^2 + 2(\frac{2}{7}) = \frac{8}{343} - \frac{12}{49} + \frac{4}{7} = \frac{8-84+196}{343} = \frac{120}{343}
a=1a=1 のとき、f(1)=f(2)=0f(1) = f(2) = 0 なので、g(1)=0g(1) = 0
g(a)g(a)ax2aa \le x \le 2a における最大値なので、
f(x)f(x) が極大値をとる x=133x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}ax2aa \le x \le 2a の範囲に含まれるかで場合分けする。
a=133a = 1-\frac{\sqrt{3}}{3}のとき、2a=2233=2230.8462a = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 0.846
2a>133>a2a > 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} > a になるのは、a<133a < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} のとき。
1330.4231-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423, 1+331.5771+\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577
a=0a=0, g(0)=0g(0)=0
a=0.423a=0.423付近で極大値239\frac{2\sqrt{3}}{9} をとる。
a=1a=1, g(1)=0g(1)=0
y=g(a)y = g(a) のグラフの最大値は 239\frac{2\sqrt{3}}{9} である。

3. 最終的な答え

(1) x=133x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} において極大値 239\frac{2\sqrt{3}}{9} をとり、x=1+33x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} において極小値 239-\frac{2\sqrt{3}}{9} をとる。
(2) a=0,1,27a = 0, 1, \frac{2}{7}
(3) y=g(a)y = g(a) の最大値は 239\frac{2\sqrt{3}}{9} である。

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