定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{2-x} \, dx$ を計算します。

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{2-x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。

$u = 2-x$ とおくと、$du = -dx$ となり、$dx = -du$ となります。

また、$x$ の積分範囲が $0$ から $2$ なので、$u$ の積分範囲は $2-0=2$ から $2-2=0$ になります。

したがって、

$$\int_{0}^{2} \sqrt{2-x} \, dx = \int_{2}^{0} \sqrt{u} \, (-du) = \int_{0}^{2} \sqrt{u} \, du$$

$$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} \, du = \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2}}{3}$

## 問題4 (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$ , $dv = x^2 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ , $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ なので、

$$\int_{1}^{2} x^2 \log x \, dx = \left[\frac{x^3}{3} \log x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= \left[\frac{x^3}{3} \log x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^2}{3} \, dx = \left(\frac{8}{3} \log 2 - \frac{1}{3} \log 1\right) - \left[\frac{x^3}{9}\right]_{1}^{2}$$

$$= \frac{8}{3} \log 2 - \frac{1}{3}(0) - \left(\frac{8}{9} - \frac{1}{9}\right) = \frac{8}{3} \log 2 - \frac{7}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3} \log 2 - \frac{7}{9}$

## 問題5

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

区分求積法を利用します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2$$

$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題6

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{1}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{3}}{n\sqrt{n}} + \dots + \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} \right)$ を計算します。

2. 解き方の手順

区分求積法を利用します。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k}}{n^{\frac{3}{2}}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k/n}}{n} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx$$

$$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$