以下の4つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{2x+1}$ (2) $\int_{0}^{\pi} \cos(ax) dx \quad (a \neq 0)$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$ (4) $\int_{0}^{1} x2^x dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{2x+1}$

(2) $\int_{0}^{\pi} \cos(ax) dx \quad (a \neq 0)$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

(4) $\int_{0}^{1} x2^x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{2x+1}$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$。

$x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=3$。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{2x+1} = \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_{1}^{3} = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2}\ln 3$

(2) $\int_{0}^{\pi} \cos(ax) dx \quad (a \neq 0)$

$\int_{0}^{\pi} \cos(ax) dx = \left[ \frac{\sin(ax)}{a} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(a\pi)}{a} - \frac{\sin(0)}{a} = \frac{\sin(a\pi)}{a}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx$

部分積分を用いる。$u = x+1, dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx, v = -\cos x$。

$\int (x+1)\sin x dx = -(x+1)\cos x - \int (-\cos x) dx = -(x+1)\cos x + \int \cos x dx = -(x+1)\cos x + \sin x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x+1)\sin x dx = [-(x+1)\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( -(\frac{\pi}{2}+1)\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( -(0+1)\cos(0) + \sin(0) \right) = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$

(4) $\int_{0}^{1} x2^x dx$

部分積分を用いる。$u = x, dv = 2^x dx$ とすると、$du = dx, v = \frac{2^x}{\ln 2}$。

$\int x2^x dx = x\frac{2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} dx = \frac{x2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \int 2^x dx = \frac{x2^x}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \frac{2^x}{\ln 2} + C = \frac{x2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x2^x dx = \left[ \frac{x2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{(\ln 2)^2} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1 \cdot 2^1}{\ln 2} - \frac{2^1}{(\ln 2)^2} \right) - \left( \frac{0 \cdot 2^0}{\ln 2} - \frac{2^0}{(\ln 2)^2} \right) = \frac{2}{\ln 2} - \frac{2}{(\ln 2)^2} + \frac{1}{(\ln 2)^2} = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}\ln 3$

(2) $\frac{\sin(a\pi)}{a}$

(3) $2$

(4) $\frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}$