$a, b$ は正の数とし、$xy$ 平面上に2点 $A(a, 0)$ と $B(0, b)$ がある。これらを頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第1象限の点とする。この正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は正の数とし、$xy$ 平面上に2点 $A(a, 0)$ と $B(0, b)$ がある。これらを頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第1象限の点とする。この正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、正三角形 $ABC$ の頂点 $C$ の座標を求める。

$A(a, 0)$、$B(0, b)$ より、線分 $AB$ の中点 $M$ は $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ である。

ベクトル $\vec{AB} = (-a, b)$ を $\frac{\pi}{2}$ 回転させると $(-b, -a)$ となる。

よって、ベクトル $\vec{MC}$ は $\pm \frac{\sqrt{3}}{2} (-b, -a)$ と表せる。

$C$ は第1象限の点であるから、$C = (\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b, \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} a)$ である。

正三角形 $ABC$ が正方形 $D$ に含まれる条件は、

$0 \le a \le 1$, $0 \le b \le 1$, $0 \le \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b \le 1$, $0 \le \frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} a \le 1$

を満たすことである。$a, b$ は正の数なので、$a > 0$, $b > 0$。

不等式を整理すると、

$a \le 1$

$b \le 1$

$\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} b \le 1 \implies a + \sqrt{3} b \le 2 \implies b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$

$\frac{b}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} a \le 1 \implies b + \sqrt{3} a \le 2 \implies b \le 2 - \sqrt{3} a$

$0 < a \le 1$

$0 < b \le 1$

$b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$

$b \le 2 - \sqrt{3} a$

$ab$ 平面上にこれらの不等式を満たす領域を図示する。

$a \ge 0$, $b \ge 0$ より、第1象限のみを考える。

$a \le 1$, $b \le 1$ なので、$a = 1$, $b = 1$ で囲まれる正方形領域を考える。

$b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$ と $b \le 2 - \sqrt{3} a$ の交点を求める。

$\frac{2 - a}{\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} a$

$2 - a = 2\sqrt{3} - 3a$

$2a = 2\sqrt{3} - 2$

$a = \sqrt{3} - 1$

$b = 2 - \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1) = 2 - 3 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$

交点は $(\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1)$ である。

$\sqrt{3} - 1 \approx 0.732$ であるから、交点は $0 < a \le 1$, $0 < b \le 1$ の範囲にある。

3. 最終的な答え

$ab$ 平面上において、以下の不等式で表される領域となる。

$0 < a \le 1$

$0 < b \le 1$

$b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$

$b \le 2 - \sqrt{3} a$

この領域は、四つの不等式 $a > 0, b > 0, a \le 1, b \le 1, b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}, b \le 2 - \sqrt{3} a$ を満たす領域である。

特に、$0 < a \le \sqrt{3} - 1$ では、$b \le 2 - \sqrt{3} a$ がより制限の強い条件となり、$\sqrt{3} - 1 \le a \le 1$ では、$b \le \frac{2 - a}{\sqrt{3}}$ がより制限の強い条件となる。

領域を図示すると、$(0,0)$、$(1,0)$、$(1, \frac{2-1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}})$、$(\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-1)$、$(0,1)$ の点を結ぶ領域となる。