$a, b$ を正の数とする。$xy$ 平面の 2 点 $A(a, 0)$ および $B(0, b)$ を頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第 1 象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の数とする。$xy$ 平面の 2 点 $A(a, 0)$ および $B(0, b)$ を頂点とする正三角形 $ABC$ を作る。ただし、$C$ は第 1 象限の点とする。正三角形 $ABC$ が正方形 $D = \{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ に含まれるとき、点 $(a, b)$ の存在する範囲を $ab$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $C$ の座標を求める。点 $A(a, 0)$ を点 $B(0, b)$ を中心に反時計回りに $60^\circ$ 回転した点が $C$ である。

$C$ の座標は、複素平面上で考えると、$z_A = a$, $z_B = bi$, $z_C = z_B + (z_A - z_B) e^{i \pi / 3}$ より、

$z_C = bi + (a - bi) (\cos(\pi / 3) + i \sin(\pi / 3)) = bi + (a - bi) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

$z_C = bi + \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}i - \frac{bi}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2} = (\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2}) + i (\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2})$

したがって、$C = (\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2})$ である。

$C$ が正方形 $D$ に含まれる条件は、

$0 \le \frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2} \le 1$ かつ $0 \le \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2} \le 1$ である。

$a > 0, b > 0$ より、$0 \le \frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2}$ かつ $0 \le \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2}$ は常に成り立つ。

$\frac{a}{2} + \frac{b\sqrt{3}}{2} \le 1$ より、$a + b\sqrt{3} \le 2$

$\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{b}{2} \le 1$ より、$a\sqrt{3} + b \le 2$

したがって、求める範囲は、

$a > 0, b > 0, a + b\sqrt{3} \le 2, a\sqrt{3} + b \le 2$ を満たす領域である。

$a + b\sqrt{3} = 2$ は、$b = \frac{2-a}{\sqrt{3}}$

$a\sqrt{3} + b = 2$ は、$b = 2 - a\sqrt{3}$

交点は、$\frac{2-a}{\sqrt{3}} = 2 - a\sqrt{3}$ より、$2-a = 2\sqrt{3} - 3a$, $2a = 2\sqrt{3} - 2$, $a = \sqrt{3} - 1$

$b = 2 - a\sqrt{3} = 2 - (\sqrt{3} - 1)\sqrt{3} = 2 - (3 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$

したがって、交点は $(\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} - 1)$ である。

3. 最終的な答え

$ab$ 平面上において、$a > 0, b > 0$ であり、$a + b\sqrt{3} \le 2$ かつ $a\sqrt{3} + b \le 2$ を満たす領域。

境界は、$a$ 軸、 $b$ 軸、$b = \frac{2-a}{\sqrt{3}}$、$b = 2 - a\sqrt{3}$ である。

$a + b\sqrt{3} = 2$ と $a\sqrt{3} + b = 2$ の交点は $(\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} - 1)$ である。