2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求める問題です。それぞれの問題で、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ 、$|\vec{b}|$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ が与えられています。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求める問題です。それぞれの問題で、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ 、$|\vec{b}|$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ が与えられています。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積は、以下の公式を用いて計算できます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

(1) $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, $\theta = 60^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

(2) $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=4$, $\theta = 135^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 \cdot \cos{135^\circ} = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$

(3) $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\theta = 30^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos{30^\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(4) $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=3$, $\theta = 90^\circ$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 3 \cdot \cos{90^\circ} = 15 \cdot 0 = 0$

(5) $\vec{a} = (3, 4)$, $|\vec{b}|=2$, $\theta = 120^\circ$ のとき

まず、$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 5 \cdot 2 \cdot \cos{120^\circ} = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$

(6) $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は反対向きのとき

$\theta = 180^\circ$

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{180^\circ} = 4 \cdot (-1) = -4$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $-2\sqrt{2}$

(3) $3\sqrt{3}$

(4) 0

(5) -5

(6) -4