三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとする。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$とするとき、以下のベクトルを$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$を用いて表す。 (1) $\overrightarrow{BM}$ (2) $\overrightarrow{CN}$ (3) $\overrightarrow{AL}$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとする。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$とするとき、以下のベクトルを$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$を用いて表す。

(1) $\overrightarrow{BM}$

(2) $\overrightarrow{CN}$

(3) $\overrightarrow{AL}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{BM}$について:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{CN}$について:

$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$

(3) $\overrightarrow{AL}$について:

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{BL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BL} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

(2) $\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$

(3) $\overrightarrow{AL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$