ベクトル $a$ と $b$ が与えられたとき、これらのベクトルが作る平行四辺形の面積を求めます。4つの異なるベクトルペアについて、それぞれ平行四辺形の面積を計算する必要があります。

1. 問題の内容

ベクトル $a$ と $b$ が与えられたとき、これらのベクトルが作る平行四辺形の面積を求めます。4つの異なるベクトルペアについて、それぞれ平行四辺形の面積を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の絶対値に等しくなります。2次元ベクトル $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ と $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ の場合、外積の絶対値は $|a_1 b_2 - a_2 b_1|$ で計算できます。3次元ベクトル $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ と $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ の場合、外積は

$a \times b = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

となり、平行四辺形の面積は$|a \times b|$、すなわち、$\sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$で与えられます。

(1) $a = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

面積 = $|(1)(2) - (-2)(-3)| = |2 - 6| = |-4| = 4$

(2) $a = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

面積 = $|(-2)(-2) - (1)(-3)| = |4 + 3| = |7| = 7$

(3) $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} (2)(4) - (-1)(-1) \\ (-1)(3) - (1)(4) \\ (1)(-1) - (2)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 1 \\ -3 - 4 \\ -1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix}$

面積 = $\sqrt{7^2 + (-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{3 \times 49} = 7\sqrt{3}$

(4) $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$a \times b = \begin{pmatrix} (3)(-1) - (2)(-4) \\ (2)(2) - (1)(-1) \\ (1)(-4) - (3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 8 \\ 4 + 1 \\ -4 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix}$

面積 = $\sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 7

(3) $7\sqrt{3}$

(4) $5\sqrt{6}$