この問題は、与えられた点と直線または平面との距離を求める問題です。具体的には以下の4つの小問があります。 (1) 原点Oと直線 $x - 3y - 2 = 0$ との距離 (2) 点(3, 2)と直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ との距離 (3) 原点Oと平面 $x + 2y - 2z - 4 = 0$ との距離 (4) 点(2, -1, 0)と平面 $2x - y + z = 3$ との距離

1. 問題の内容

この問題は、与えられた点と直線または平面との距離を求める問題です。具体的には以下の4つの小問があります。

(1) 原点Oと直線 $x - 3y - 2 = 0$ との距離

(2) 点(3, 2)と直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ との距離

(3) 原点Oと平面 $x + 2y - 2z - 4 = 0$ との距離

(4) 点(2, -1, 0)と平面 $2x - y + z = 3$ との距離

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式を使って、原点(0, 0)と直線 $x - 3y - 2 = 0$ との距離を求めます。

$d = \frac{|1\cdot0 - 3\cdot0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) 点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離を求める公式を使います。まず、直線を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$y = -\frac{1}{2}x + 1$ より、$\frac{1}{2}x + y - 1 = 0$　すなわち、$x + 2y - 2 = 0$ となります。

この公式を使って、点(3, 2)と直線 $x + 2y - 2 = 0$ との距離を求めます。

$d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot2 - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 4 - 2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) 点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

この公式を使って、原点(0, 0, 0)と平面 $x + 2y - 2z - 4 = 0$ との距離を求めます。

$d = \frac{|1\cdot0 + 2\cdot0 - 2\cdot0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$

(4) 点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離を求める公式を使います。

この公式を使って、点(2, -1, 0)と平面 $2x - y + z - 3 = 0$ との距離を求めます。

$d = \frac{|2\cdot2 - (-1) + 1\cdot0 - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 1 + 0 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) $\sqrt{5}$

(3) $\frac{4}{3}$

(4) $\frac{\sqrt{6}}{3}$