一辺の長さが2の正六角形ABCDEFについて、以下のベクトルの内積を求めます。 (1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$ (2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$ (3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$ (4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFについて、以下のベクトルの内積を求めます。

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

(2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

(3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$

(4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO}$

$|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AO}| = 2$、$\angle BAO = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AO} = |\vec{AB}||\vec{AO}| \cos{\angle BAO} = 2 \times 2 \times \cos{\frac{\pi}{6}} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

(2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC}$

$|\vec{OA}| = 2$, $|\vec{OC}| = 2$、$\angle AOC = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = |\vec{OA}||\vec{OC}| \cos{\angle AOC} = 2 \times 2 \times \cos{\frac{2\pi}{3}} = 4 \times (-\frac{1}{2}) = -2$

(3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AO} - \vec{AB}$

$\vec{AB} \cdot \vec{BD} = \vec{AB} \cdot (2\vec{AO} - \vec{AB}) = 2\vec{AB} \cdot \vec{AO} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = 2 \times 2\sqrt{3} - |\vec{AB}|^2 = 4\sqrt{3} - 2^2 = 4\sqrt{3} - 4$

(4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF}$

$\vec{AC} = \vec{AO} + \vec{OC}$

$\vec{BF} = \vec{BO} + \vec{OF}$

$\vec{BF} = -\vec{OB} + \vec{OA}$

$\vec{AC} \cdot \vec{BF} = (\vec{AO} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \vec{AO} \cdot \vec{OA} - \vec{AO} \cdot \vec{OB} + \vec{OC} \cdot \vec{OA} - \vec{OC} \cdot \vec{OB}$

$= -|\vec{AO}|^2 - |\vec{AO}||\vec{OB}|\cos{90^\circ} + |\vec{OC}||\vec{OA}|\cos{120^\circ} - |\vec{OC}||\vec{OB}|\cos{30^\circ}$

$= -2^2 - 0 + 2 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) - 2 \times 2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= -4 - 2 - 2\sqrt{3} = -6 - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AO} = 2\sqrt{3}$

(2) $\vec{OA} \cdot \vec{OC} = -2$

(3) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 4\sqrt{3} - 4$

(4) $\vec{AC} \cdot \vec{BF} = -6 - 2\sqrt{3}$