三角形ABCの重心をGとし、ベクトルBA = ベクトルa、ベクトルBC = ベクトルcとする。 (1) ベクトルBGをベクトルa、ベクトルcを用いて表す。 (2) BP:PA=2:3となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとする。ベクトルBQをベクトルcを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとし、ベクトルBA = ベクトルa、ベクトルBC = ベクトルcとする。

(1) ベクトルBGをベクトルa、ベクトルcを用いて表す。

(2) BP:PA=2:3となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとする。ベクトルBQをベクトルcを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

重心Gは、三角形ABCの頂点から対辺の中点へ引いた線分の交点である。

ベクトルBGは、ベクトルBA + ベクトルAGで表せる。

ベクトルAGは、ベクトルACの中点をMとすると、ベクトルAMの2/3倍に等しい。

ベクトルAC = ベクトルBC - ベクトルBA = ベクトルc - ベクトルa。

ベクトルAM = 1/2 * ベクトルAC = 1/2 * (ベクトルc - ベクトルa)。

ベクトルAG = (2/3) * ベクトルAM = (2/3) * (1/2) * (ベクトルc - ベクトルa) = (1/3) * (ベクトルc - ベクトルa)。

ベクトルBG = ベクトルBA + ベクトルAG = ベクトルa + (1/3) * (ベクトルc - ベクトルa) = (2/3) * ベクトルa + (1/3) * ベクトルc。

(2)

点Pは辺AB上にあり、BP:PA=2:3なので、ベクトルBP = (2/5) * ベクトルBA = (2/5) * ベクトルa。

点Qは直線BC上にあるので、ベクトルBQ = k * ベクトルBC = k * ベクトルc (kは実数)と表せる。

点Qは直線PG上にもあるので、ベクトルPQ = s * ベクトルPG (sは実数)と表せる。

ベクトルPQ = ベクトルBQ - ベクトルBP = k * ベクトルc - (2/5) * ベクトルa。

ベクトルPG = ベクトルBG - ベクトルBP = (2/3) * ベクトルa + (1/3) * ベクトルc - (2/5) * ベクトルa = (4/15) * ベクトルa + (1/3) * ベクトルc。

よって、k * ベクトルc - (2/5) * ベクトルa = s * ((4/15) * ベクトルa + (1/3) * ベクトルc)。

k * ベクトルc - (2/5) * ベクトルa = (4s/15) * ベクトルa + (s/3) * ベクトルc。

ベクトルaとベクトルcは一次独立なので、

-2/5 = 4s/15

k = s/3

この連立方程式を解くと、

s = -3/2

k = -1/2

3. 最終的な答え

(1) ベクトルBG = (2/3) * ベクトルa + (1/3) * ベクトルc

(2) ベクトルBQ = (-1/2) * ベクトルc