複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ があり、以下の条件を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形 このとき、$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点と異なる3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ があり、以下の条件を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) $z_3$ は2点 $z_1$, $z_2$ を通る直線に関して原点と反対側にある

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形

このとき、$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

条件(A)より、$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2\pi}{3}$ であるから、$z_1 = |z_1| e^{i \theta}$ とすれば、$z_2 = |z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3})}$ と表せる。

$\alpha z_1 = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) z_1 = (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) z_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} z_1$ である。

よって、$\arg (\alpha z_1) = \arg z_1 + \frac{\pi}{3} = \theta + \frac{\pi}{3}$ となる。

$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$ より、

$e^{i \frac{\pi}{3}} |z_1| e^{i \theta} = p |z_1| e^{i \theta} + q |z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3})}$

$|z_1| e^{i(\theta + \frac{\pi}{3})} = p |z_1| e^{i \theta} + q |z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3})}$

$|z_1| e^{i \frac{\pi}{3}} = p |z_1| + q |z_2| e^{-i \frac{2\pi}{3}}$

$|z_1| (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = p |z_1| + q |z_2| (\cos (-\frac{2\pi}{3}) + i \sin (-\frac{2\pi}{3}))$

$|z_1| (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = p |z_1| + q |z_2| (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})$

実部と虚部を比較して、

$\frac{1}{2} |z_1| = p |z_1| - \frac{1}{2} q |z_2|$

$\frac{\sqrt{3}}{2} |z_1| = - \frac{\sqrt{3}}{2} q |z_2|$

$|z_1| = -q |z_2|$

$q = - \frac{|z_1|}{|z_2|}$

$\frac{1}{2} |z_1| = p |z_1| + \frac{1}{2} \frac{|z_1|}{|z_2|} |z_2|$

$\frac{1}{2} |z_1| = p |z_1| + \frac{1}{2} |z_1|$

$p = 0$

$\alpha z_2 = r z_1 + s z_2$ より、

$e^{i \frac{\pi}{3}} z_2 = r z_1 + s z_2$

$|z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3})} = r |z_1| e^{i \theta} + s |z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3})}$

$|z_2| e^{i (\theta - \frac{\pi}{3})} = r |z_1| e^{i \theta} + s |z_2| e^{i (\theta - \frac{2\pi}{3})}$

$|z_2| e^{- i \frac{\pi}{3}} = r |z_1| + s |z_2| e^{- i \frac{2\pi}{3}}$

$|z_2| (\cos (-\frac{\pi}{3}) + i \sin (-\frac{\pi}{3})) = r |z_1| + s |z_2| (\cos (-\frac{2\pi}{3}) + i \sin (-\frac{2\pi}{3}))$

$|z_2| (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = r |z_1| + s |z_2| (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})$

実部と虚部を比較して、

$\frac{1}{2} |z_2| = r |z_1| - \frac{1}{2} s |z_2|$

$- \frac{\sqrt{3}}{2} |z_2| = - \frac{\sqrt{3}}{2} s |z_2|$

$s = 1$

$\frac{1}{2} |z_2| = r |z_1| - \frac{1}{2} |z_2|$

$|z_2| = r |z_1|$

$r = \frac{|z_2|}{|z_1|}$

(2)

$z_3$ は $z_1$ と $z_2$ を結ぶ直線に関して原点と反対側にある。また、$\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形であるから、$z_3$ は $z_1$ を中心に $z_2$ を $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点、または $z_2$ を中心に $z_1$ を $-\frac{\pi}{3}$ 回転させた点である。

すなわち、$z_3 - z_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} (z_2 - z_1)$ または $z_3 - z_2 = e^{- i \frac{\pi}{3}} (z_1 - z_2)$

$z_3 = z_1 + e^{i \frac{\pi}{3}} z_2 - e^{i \frac{\pi}{3}} z_1 = (1 - e^{i \frac{\pi}{3}}) z_1 + e^{i \frac{\pi}{3}} z_2$

$z_3 = z_2 + e^{- i \frac{\pi}{3}} z_1 - e^{- i \frac{\pi}{3}} z_2 = e^{- i \frac{\pi}{3}} z_1 + (1 - e^{- i \frac{\pi}{3}}) z_2$

$1 - e^{i \frac{\pi}{3}} = 1 - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{- i \frac{\pi}{3}}$

$1 - e^{- i \frac{\pi}{3}} = 1 - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{\pi}{3}}$

$z_3 = a z_1 + b z_2$ となる実数 $a, b$ を求める。条件(B)より，$z_3 = \lambda (z_1 + z_2)$ と表せる。

3. 最終的な答え

(1) $p = 0, q = - \frac{|z_1|}{|z_2|}, r = \frac{|z_2|}{|z_1|}, s = 1$

(2) 解答不能

条件 (B) が不明確であり、一意に解が定まらない。 $z_3$ が $z_1, z_2$ を通る直線上にあり、原点に関して反対側にあるという条件だけでは、 $z_3$ の位置は定まらない。さらに、$z_3 = az_1+bz_2$ となる実数$a,b$が存在するかも不明である。

問題文の条件を全て満たす具体的な$z_1, z_2, z_3$が見つからないため、解答不能。