与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x+y-5}{x-3y-5}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{3x+y-5}{x-3y-5}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は、定数項があるために同次形ではありません。まず、平行移動によって定数項を消去することを試みます。つまり、$x = X + h$、$y = Y + k$ とおき、新しい変数 $X, Y$ についての微分方程式を考えます。このとき、$dx = dX$, $dy = dY$ であるから、

$\frac{dY}{dX} = \frac{3(X+h) + (Y+k) - 5}{(X+h) - 3(Y+k) - 5} = \frac{3X + Y + (3h + k - 5)}{X - 3Y + (h - 3k - 5)}$

定数項が消えるように、$h$ と $k$ を次のように選びます。

$3h + k - 5 = 0$

$h - 3k - 5 = 0$

この連立方程式を解くと、$h = 2$, $k = -1$ を得ます。したがって、$x = X + 2$, $y = Y - 1$ とおくと、

$\frac{dY}{dX} = \frac{3X + Y}{X - 3Y}$

これは同次形の微分方程式です。そこで、$Y = vX$ とおくと、$dY/dX = v + X dv/dX$ となるので、

$v + X \frac{dv}{dX} = \frac{3X + vX}{X - 3vX} = \frac{3+v}{1-3v}$

$X \frac{dv}{dX} = \frac{3+v}{1-3v} - v = \frac{3+v - v + 3v^2}{1-3v} = \frac{3+3v^2}{1-3v}$

したがって、

$\frac{1-3v}{3(1+v^2)} dv = \frac{dX}{X}$

両辺を積分します。

$\int \frac{1-3v}{3(1+v^2)} dv = \int \frac{1}{3(1+v^2)} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{3} \arctan v - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln |X| + C$

$\frac{1}{3} \arctan v - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln |X| + C$

ここで、$v = \frac{Y}{X}$ なので、$Y = y+1$, $X = x-2$ を代入すると、

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln(1+(\frac{y+1}{x-2})^2) = \ln |x-2| + C$

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln(\frac{(x-2)^2+(y+1)^2}{(x-2)^2}) = \ln |x-2| + C$

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2+(y+1)^2) + \frac{1}{2} \ln((x-2)^2) = \ln |x-2| + C$

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2+(y+1)^2) + \ln |x-2| = \ln |x-2| + C$

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2+(y+1)^2) = C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \arctan \frac{y+1}{x-2} - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2+(y+1)^2) = C$