$x$ が無限大に近づくときの $\frac{x^n}{e^x}$ の極限値を求める問題です。ただし、$n$ は定数とします。ロピタルの定理を用いて解きます。

1. 問題の内容

$x$ が無限大に近づくときの $\frac{x^n}{e^x}$ の極限値を求める問題です。ただし、$n$ は定数とします。ロピタルの定理を用いて解きます。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、$x^n \to \infty$ かつ $e^x \to \infty$ となるので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理より、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}x^n}{\frac{d}{dx}e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x}$$

もし $n-1 > 0$ なら、この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、再びロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理を $n$ 回適用すると、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x}$$

ここで、$n!$ は定数なので、$x \to \infty$ のとき $e^x \to \infty$ より、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$