次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$

2. 解き方の手順

この極限は、単純に $x=1$ を代入すると、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。そこで、分子を有理化することで問題を解きます。

分子と分母に $\sqrt{x+3} + 2$ を掛けます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$

分子を展開します。

$\lim_{x \to 1} \frac{(x+3) - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$

$x \neq 1$ であることに注意して、$x-1$ を約分します。

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$

$x=1$ を代入します。

$\frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$