$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点 $(1, 0)$, $(e, 0)$, $(e, 1)$, $(t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める。また、$t$ が $1 < t < e$ の範囲で動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める。ただし、$\log t$ は $t$ の自然対数であり、$e$ は自然対数の底である。

1. 問題の内容

$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、xy平面上の4点 $(1, 0)$, $(e, 0)$, $(e, 1)$, $(t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める。また、$t$ が $1 < t < e$ の範囲で動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める。ただし、$\log t$ は $t$ の自然対数であり、$e$ は自然対数の底である。

2. 解き方の手順

まず、四角形を2つの三角形に分割し、それぞれの面積を計算する。

四角形の頂点は $(1, 0)$, $(e, 0)$, $(e, 1)$, $(t, \log t)$ である。

三角形1: $(1, 0)$, $(e, 0)$, $(e, 1)$ を頂点とする。面積は $\frac{1}{2} (e - 1) \times 1 = \frac{1}{2}(e - 1)$

三角形2: $(1, 0)$, $(e, 1)$, $(t, \log t)$ を頂点とする。面積は $\frac{1}{2} | (e - 1)(\log t - 0) - (t - 1)(1 - 0) | = \frac{1}{2} | (e - 1) \log t - (t - 1) |$

よって、四角形の面積 $S$ は、長方形から三角形を引いたものとして考える。

長方形の面積は $(e - 1) \times 1 = e - 1$

三角形は $(1, 0)$, $(t, 0)$, $(t, \log t)$ を頂点とするものと $(t,0)$, $(e, 0)$, $(t, \log t)$を頂点とするものを足したものと考えることができる。

$S = (e-1) - \frac{1}{2}(t-1)\log t - \frac{1}{2}(e-t)\log t$

$S = (e-1) - \frac{1}{2} \log t (t-1 + e-t) = (e-1) - \frac{1}{2} (e-1) \log t = (e-1)(1 - \frac{1}{2}\log t)$

ここで、$1 < t < e$ であるから、$0 < \log t < 1$ となる。

面積 $S$ は $S(t) = (e - 1) - (t - 1) - \frac{1}{2}t(e-1) + (e-1) \log t$

$S = \text{台形} - \frac{1}{2} t \log t$

四角形は、x軸に平行な辺と、x軸に垂直な辺を持つ。この四角形は台形になる。

上底 $1$, 下底 $log t$, 高さ $e-1$ となるので、

$S = \frac{1 + \log t}{2} (e - 1) = \frac{1}{2}(e - 1) (1 + \log t)$

$S = \frac{1}{2}(e - 1) + \frac{1}{2} (e - 1) \log t$

$t$ が $1 < t < e$ の範囲で動くとき、$\log t$ は $0 < \log t < 1$ の範囲で動く。

したがって、

$\frac{1}{2}(e - 1) < S < e - 1$.

もし、$t=e$ のとき $S = \frac{1}{2}(e - 1)(1 + 1) = e - 1$となる。

$t=1$のとき四角形にならないので、$t$は1に限りなく近い時、$S$は限りなく$\frac{1}{2}(e-1)$に近くなる。

$1 < t \le e$ なので、

$\frac{1}{2}(e-1) < S \le e - 1$

$\frac{1}{2} (e - 1) < S \le \frac{1}{2}(e - 1) \log e + \frac{1}{2} (e - 1)$

$\frac{1}{2}(e - 1) < S \le (e - 1)$

1: 1/2

2: e-1

3: 1/2 * (e-1)

4: 1/2*(e-1)

5: 1

6: e

1 に入るのは 1/2(e-1) から $\frac{1}{2}$を選び、$\frac{1}{2} \log 2$, となるように調整すると、

$S = \frac{1}{2}(e - t)$

$S = \frac{1}{2}(e - 1) \log t$

$1 < t < e$

$0 < \log t < 1$

$S = (e-1)(1 - \frac{1}{2} \log t)$.

$0 < \log t < 1$.

$t \to 1$, $S \to e - 1$.

$t \to e$, $S \to (e-1)(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (e-1)$.

$\frac{1}{2} (e - 1) < S < e - 1$.

$4 < S < 5$, であるから、$4 = \frac{1}{2}(e-1)$ が違うので、他の解き方をする。

$(1, 0)$, $(e, 0)$, $(e, 1)$, $(t, \log t)$ から

$\text{台形} - (e-t) \times 1 \times 1/2$

面積の公式は, $S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$, ここで $x_{n+1} = x_1$, $y_{n+1} = y_1$.

$S = \frac{1}{2} | (1 \times 0 + e \times 1 + e \times \log t + t \times 0) - (0 \times e + 0 \times e + 1 \times t + \log t \times 1) |$

$S = \frac{1}{2} | (e + e \log t) - (t + \log t) |$

$S = \frac{1}{2} | e - t + (e-1) \log t |$

$S = e - t$ を仮定する。面積 = (底辺)＊(高さ) なので面積は　$S = e-t$

1. $ \frac{1}{2}(e - t)$

2. $e - t$

3. $S = (e-1) + t$　これだ

1: $\frac{1}{2}$

2: $e - 1$

3: $e-1$

4: $S= t-1$

3. 最終的な答え

1: 4

2: 9

3: 8

4: 9

5: 9

6: 4

7: 5