関数 $f(x) = \left( \log_{\sqrt{e}} x \right) \left( \log_{e^4} x^2 \right)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値を求める。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left( \log_{\sqrt{e}} x \right) \left( \log_{e^4} x^2 \right)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値を求める。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を計算する。

まず、$f(x)$ を簡単にするために底の変換公式を使う。

$\log_{\sqrt{e}} x = \frac{\log x}{\log \sqrt{e}} = \frac{\log x}{\frac{1}{2}\log e} = \frac{\log x}{\frac{1}{2}} = 2 \log x$

$\log_{e^4} x^2 = \frac{\log x^2}{\log e^4} = \frac{2\log x}{4\log e} = \frac{2\log x}{4} = \frac{1}{2} \log x$

したがって、

$f(x) = (2\log x)(\frac{1}{2}\log x) = (\log x)^2$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log x}{x} = \frac{1}{x} (2\log x)$

$f'(x) = \frac{1}{x} (2\log x)$ なので、

$f'(x) = \frac{2\log x}{x}$

$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{\frac{2}{x}\cdot x - 2\log x}{x^2} = \frac{2 - 2\log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2}$

$f''(x) = \frac{2 - 2\log x}{x^2} = \frac{1}{x^2} (2 - 2 \log x)$

(2) 関数 $f(x)$ の最小値を求める。

$f'(x) = \frac{2\log x}{x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $\log x = 0$ のとき、すなわち $x = 1$ のときである。

$x > 0$ なので、

$0 < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$

したがって、$x = 1$ で最小値をとる。

$f(1) = (\log 1)^2 = 0^2 = 0$

(3) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める。

$f''(x) = \frac{2 - 2\log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2}$

$f''(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$ のとき、すなわち $\log x = 1$ より $x = e$ のときである。

$x > 0$ なので、

$0 < x < e$ のとき $f''(x) > 0$

$x > e$ のとき $f''(x) < 0$

したがって、$x = e$ で変曲点となる。

$f(e) = (\log e)^2 = 1^2 = 1$

変曲点の座標は $(e, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = \frac{1}{x} (2 \log x)$

$f''(x) = \frac{1}{x^2} (2 - 2 \log x)$

(2)

$x = e^1$ で最小値 $0$ をとる。

(3)

変曲点は $(e, 1)$ である。