関数 $f(x) = \log{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log{\frac{x^2}{e^4}}$ について、その導関数 $f'(x)$、二階導関数 $f''(x)$ を求め、さらに $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値、および曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める問題です。ただし、対数の底は $e$ (自然対数) とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log{\frac{x^2}{e^4}}$ について、その導関数 $f'(x)$、二階導関数 $f''(x)$ を求め、さらに $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値、および曲線 $y=f(x)$ の変曲点を求める問題です。ただし、対数の底は $e$ (自然対数) とします。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を簡単にする。

$f(x) = (\log x - \log \sqrt{e})(\log x^2 - \log e^4) = (\log x - \frac{1}{2})(2\log x - 4)$

$f(x) = 2(\log x)^2 - 4\log x - \log x + 2 = 2(\log x)^2 - 5\log x + 2$

$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2 \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} - 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}(4\log x - 5)$

$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}(4\log x - 5) + \frac{1}{x}(4 \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 5 + 4) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{x}(4\log x - 5) = 0$ より、 $4\log x - 5 = 0$

$\log x = \frac{5}{4}$

$x = e^{\frac{5}{4}}$

$f''(e^{\frac{5}{4}}) = \frac{1}{(e^{\frac{5}{4}})^2}(-4 \cdot \frac{5}{4} + 9) = \frac{1}{e^{\frac{5}{2}}}(-5+9) = \frac{4}{e^{\frac{5}{2}}} > 0$

よって $x = e^{\frac{5}{4}}$ で極小かつ最小。

$f(e^{\frac{5}{4}}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) + 2 = 2\frac{25}{16} - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = \frac{-9}{8}$

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1}{x^2}(-4\log x + 9) = 0$ より、 $-4\log x + 9 = 0$

$\log x = \frac{9}{4}$

$x = e^{\frac{9}{4}}$

変曲点の $y$ 座標を求める。

$f(e^{\frac{9}{4}}) = 2(\frac{9}{4})^2 - 5(\frac{9}{4}) + 2 = 2\frac{81}{16} - \frac{45}{4} + 2 = \frac{81}{8} - \frac{90}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x}(4\log x - 5)$

$f''(x) = \frac{1}{x^2}(-4\log x + 9)$

(2) $x = e^{\frac{5}{4}}$ で最小値 $-\frac{9}{8}$ をとる。

(3) 変曲点は $(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8})$ である。