2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件、および2つの解がともに正である条件を考えます。

まず、$f(x) = x^2 + kx - k + 3$ とおきます。

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件

判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = k^2 - 4(1)(-k+3) = k^2 + 4k - 12 > 0$

$(k+6)(k-2) > 0$

よって、$k < -6$ または $k > 2$

(2) 2つの解がともに正である条件

解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha > 0, \beta > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -k$ および $\alpha\beta = -k+3$ が成り立ちます。

$\alpha > 0, \beta > 0$ より、

$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ が必要です。

$-k > 0$ より、$k < 0$

$-k + 3 > 0$ より、$k < 3$

(3) (1)と(2)の共通範囲を求める

(1) $k < -6$ または $k > 2$

(2) $k < 0$ かつ $k < 3$ つまり $k < 0$

したがって、$k < -6$ が共通範囲となります。

3. 最終的な答え

$k < -6$