2次方程式 $x^2 - 2kx - 3k + 4 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2kx - 3k + 4 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-2k)^2 - 4(1)(-3k + 4) = 4k^2 + 12k - 16 > 0$

$k^2 + 3k - 4 > 0$

$(k + 4)(k - 1) > 0$

よって、$k < -4$ または $k > 1$

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = 2k$

$\alpha \beta = -3k + 4$

異なる2つの負の解を持つためには、以下の条件が必要となる。

(1) $\alpha + \beta < 0$

(2) $\alpha \beta > 0$

(1)より、$2k < 0$ なので $k < 0$

(2)より、$-3k + 4 > 0$ なので $3k < 4$ すなわち $k < \frac{4}{3}$

$k < -4$ または $k > 1$ と、$k < 0$ と、$k < \frac{4}{3}$ をすべて満たす $k$ の範囲を求める。

数直線を書くと、$k < -4$ が条件を満たすことがわかる。

3. 最終的な答え

$k < -4$