2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + kx - k + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D$ とし、2つの解を $\alpha, \beta$ とします。

この問題では、$a=1$, $b=k$, $c=-k+3$ です。

異なる2つの負の解を持つ条件は次の3つです。

* 判別式 $D > 0$

* 解の和 $\alpha + \beta < 0$

* 解の積 $\alpha \beta > 0$

1. 判別式 $D$ について

$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4(1)(-k+3) = k^2 + 4k - 12$

$D > 0$ より、

$k^2 + 4k - 12 > 0$

$(k+6)(k-2) > 0$

よって、$k < -6$ または $k > 2$

2. 解の和 $\alpha + \beta$ について

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -k$

$\alpha + \beta < 0$ より、

$-k < 0$

よって、$k > 0$

3. 解の積 $\alpha \beta$ について

解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{c}{a} = -k + 3$

$\alpha \beta > 0$ より、

$-k + 3 > 0$

$k < 3$

以上の3つの条件をすべて満たす $k$ の範囲を求めます。

* $k < -6$ または $k > 2$

* $k > 0$

* $k < 3$

これらの条件を数直線上に表すと、$2 < k < 3$ となります。

3. 最終的な答え

$2 < k < 3$