2次方程式 $x^2 + 2kx + 2k + 3 = 0$ が異なる2つの異符号の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2kx + 2k + 3 = 0$ が異なる2つの異符号の解を持つとき、定数 $k$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

また、2つの解が異符号である条件は、解の積が負となることです。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (2k)^2 - 4(1)(2k+3) = 4k^2 - 8k - 12$

$D > 0$ より

$4k^2 - 8k - 12 > 0$

$k^2 - 2k - 3 > 0$

$(k-3)(k+1) > 0$

よって、$k < -1$ または $k > 3$

次に、解の積が負となる条件を考えます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の積は $\frac{c}{a}$ です。

この問題では、解の積は $\frac{2k+3}{1} = 2k+3$ です。

よって、$2k+3 < 0$

$2k < -3$

$k < -\frac{3}{2}$

$k < -1$ または $k > 3$ と $k < -\frac{3}{2}$ を満たす $k$ の範囲を求めます。

$k < -1$ と $k < -\frac{3}{2}$ の共通範囲は $k < -\frac{3}{2}$ です。

$k > 3$ と $k < -\frac{3}{2}$ に共通範囲はありません。

したがって、求める $k$ の範囲は $k < -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$k < -\frac{3}{2}$