2次関数 $y = -x^2 - 4kx - (4k^2 - 2k + 4)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないとき、定数 $k$ の値または範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 4kx - (4k^2 - 2k + 4)$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないとき、定数 $k$ の値または範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数の式を整理します。

$y = -x^2 - 4kx - (4k^2 - 2k + 4)$

次に、$x$軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して $D = b^2 - 4ac$ で計算されます。

今回の2次関数を $x$ についての2次方程式とみなすと、

$-x^2 - 4kx - (4k^2 - 2k + 4) = 0$

両辺に -1 をかけると、

$x^2 + 4kx + (4k^2 - 2k + 4) = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (4k)^2 - 4(1)(4k^2 - 2k + 4)$

$D = 16k^2 - 16k^2 + 8k - 16$

$D = 8k - 16$

$x$軸と共有点を持たない条件 $D < 0$ を適用します。

$8k - 16 < 0$

$8k < 16$

$k < 2$

3. 最終的な答え

$k < 2$