与えられた式を因数分解する問題です。式は $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。式は $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ を因数分解します。

まず、$a^2 - b^2 = A$ と置くと、式は $Ax^2 + 4abx - A$ となります。

次に、この式を $A(x^2 - 1) + 4abx = (a^2 - b^2)(x^2 - 1) + 4abx$ と書き換えます。

さらに展開すると、$a^2x^2 - a^2 - b^2x^2 + b^2 + 4abx$ となります。

これを並び替えて、$a^2x^2 + 2abx + 2abx + b^2 - a^2 - b^2x^2$ とします。

ここで、$a^2x^2 + 2abx + b^2 = (ax + b)^2$ であり、$a^2 - 2abx + b^2x^2 = (a - bx)^2$ であることに注目します。

したがって、$a^2x^2 + 4abx - a^2 - b^2x^2 + b^2 = a^2x^2 + 2abx + 2abx - b^2x^2 + b^2 - a^2$ となります。

式を整理するために、$(ax+b)$ と $(bx+a)$ を作ってみましょう。

$(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$

$= a^2x^2 - b^2x^2 + 4abx - a^2 + b^2$

$= a^2x^2 + 2abx + b^2 + 2abx - b^2x^2 - a^2 + b^2 - b^2$

$= (ax + b)^2 - (a^2 - 2abx + b^2x^2)$

$= (ax + b)^2 - (a - bx)^2 + 4abx - 4abx$

$= (ax + b)^2 - (a - bx)^2$

ここで、$(ax + b)^2 - (a - bx)^2 = [(ax + b) + (a - bx)][(ax + b) - (a - bx)]$

$= (ax - bx + a + b)(ax + bx + b - a)$

$= (x(a - b) + (a + b))(x(a + b) - (a - b))$

$= ((a-b)x + a+b)((a+b)x-(a-b))$

したがって、最終的な答えは $((a-b)x + a+b)((a+b)x-(a-b))$となります。

3. 最終的な答え

$((a-b)x + a+b)((a+b)x-(a-b))$