大小中の3つのサイコロを投げたとき、目の和が8になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中の3つのサイコロを投げたとき、目の和が8になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

大小中のサイコロの目をそれぞれ $x$, $y$, $z$ とすると、求めるべきは

$x + y + z = 8$

を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数です。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ です。

まず、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$ であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 8$

$x' + y' + z' = 5$

を満たす整数の組 $(x', y', z')$ の数を数えればよいです。

まず、$x', y', z' \ge 0$ という条件だけで考えると、これは、5個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる方法の数なので、

${}_{5+3-1}C_{3-1} = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$

となります。

しかし、この中には、$x', y', z'$ のいずれかが5を超えるものも含まれています。$x', y', z' \le 5$ より、起こりうるのは、$x' = 5, y' = 0, z' = 0$, $x' = 0, y' = 5, z' = 0$, $x' = 0, y' = 0, z' = 5$ の3つの場合です。

したがって、条件を満たす整数の組は

$21 - 3 = 15$

となります。

3. 最終的な答え

15通り