連立不等式 $x-y-1 \le 0$, $x+y-1 \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2x$ の表す領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

連立不等式 $x-y-1 \le 0$, $x+y-1 \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 2x$ の表す領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式が表す領域を考えます。

1つ目の不等式 $x-y-1 \le 0$ は、$y \ge x-1$ を意味し、直線 $y=x-1$ の上側の領域を表します。

2つ目の不等式 $x+y-1 \ge 0$ は、$y \ge -x+1$ を意味し、直線 $y=-x+1$ の上側の領域を表します。

3つ目の不等式 $x^2 + y^2 \le 2x$ は、$x^2 - 2x + y^2 \le 0$ と変形できます。さらに平方完成して $(x-1)^2 + y^2 \le 1$ となり、これは中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円の内部（円周も含む）を表します。

したがって、求める領域は、

$y \ge x-1$

$y \ge -x+1$

$(x-1)^2 + y^2 \le 1$

をすべて満たす領域です。

次に、これらの不等式が表す領域を図示します。

直線 $y=x-1$ と直線 $y=-x+1$ の交点を求めると、

$x-1 = -x+1$ より $2x=2$ となり $x=1$。このとき $y=0$。よって交点は $(1,0)$ です。

また、円の中心 $(1,0)$ は、2つの直線の交点と一致しています。

これらの直線の交点と、円の中心が一致するため、この円は2つの直線によって、ちょうど半分に分割されます。

求める領域の面積は、半円の面積に等しくなります。

円の半径は $1$ なので、円全体の面積は $\pi \cdot 1^2 = \pi$ です。したがって、半円の面積は $\frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$