関数 $y = 3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最大値が12であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3(x-1)^2 + c + 1$ の $2 \le x \le 4$ における最大値が12であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数のグラフがどのような形をしているかを確認します。

$y = 3(x-1)^2 + c + 1$ は、頂点が $(1, c+1)$ で、下に凸な放物線です。

次に、定義域 $2 \le x \le 4$ における最大値を考えます。

軸 $x=1$ は定義域に含まれていないため、定義域の端点で最大値をとります。

$x=2$ のとき $y = 3(2-1)^2 + c + 1 = 3(1)^2 + c + 1 = 3 + c + 1 = c + 4$

$x=4$ のとき $y = 3(4-1)^2 + c + 1 = 3(3)^2 + c + 1 = 27 + c + 1 = c + 28$

$x=4$ のときの $y$ の値が $x=2$ のときの $y$ の値よりも大きいため、$x=4$ で最大値をとることがわかります。

したがって、$c+28 = 12$ となるので、この式を解いて $c$ の値を求めます。

$c + 28 = 12$

$c = 12 - 28$

$c = -16$

3. 最終的な答え

$c = -16$