2桁の自然数があり、一の位の数の2倍から十の位の数を引いた差は7になる。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、元の自然数よりも45大きくなる。 (1) 元の自然数の十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ とするとき、元の自然数を $x, y$ を使って表す。 (2) 連立方程式を作り、元の自然数を求める。

1. 問題の内容

2桁の自然数があり、一の位の数の2倍から十の位の数を引いた差は7になる。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、元の自然数よりも45大きくなる。

(1) 元の自然数の十の位の数を $x$ 、一の位の数を $y$ とするとき、元の自然数を $x, y$ を使って表す。

(2) 連立方程式を作り、元の自然数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 元の自然数の十の位の数が $x$ 、一の位の数が $y$ であるから、元の自然数は $10x + y$ と表せる。

(2) 問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

* 一の位の数の2倍から十の位の数を引いた差は7になるので、$2y - x = 7$。

* 十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は元の自然数よりも45大きくなるので、$10y + x = 10x + y + 45$。

整理すると、$9y - 9x = 45$。両辺を9で割ると、$y - x = 5$。

連立方程式は

$ \begin{cases}

2y - x = 7 \\

y - x = 5

\end{cases} $

この連立方程式を解く。

第1式から第2式を引くと、$y = 2$

$y = 2$を第2式に代入すると、$2 - x = 5$より、$x = -3$。しかし、$x$は十の位の数なので自然数である必要があり、この解は不適。

問題文を再度確認すると、「この自然数の一の位の数の2倍から十の位の数を引いた差は7になる」という記述に誤りがある可能性がある。問題文の意図を汲み取ると、「十の位の数の2倍から一の位の数を引いた差は7になる」と解釈できる。この場合、1つ目の式は $2x - y = 7$ となる。

連立方程式は

$ \begin{cases}

2x - y = 7 \\

y - x = 5

\end{cases} $

第1式と第2式を足すと、$x = 12$。しかし、$x$は十の位の数なので1から9の整数である必要があり、この解は不適。

再度問題文を確認すると、「一の位の数の2倍から十の位の数を引いた差は7になる」で正しいようだ。

連立方程式は

$ \begin{cases}

2y - x = 7 \\

y - x = 5

\end{cases} $

2式を入れ替えると

$ \begin{cases}

- x + 2y = 7 \\

-x + y = 5

\end{cases} $

1式目から2式目を引くと、

$y = 2$

$y = 2$ を $y - x = 5$ に代入すると、

$2 - x = 5$

$x = -3$

この解は適さない。

$10y + x = 10x + y + 45$ より、$9y - 9x = 45$

$y = x + 5$

$2y - x = 7$ に代入すると、

$2(x + 5) - x = 7$

$2x + 10 - x = 7$

$x = -3$

やはり問題文に誤植がある可能性が高い。

元の自然数を $10x + y$ とすると、入れ替えてできる自然数は $10y + x$ 。

$10y + x = 10x + y + 45$

$9y - 9x = 45$

$y - x = 5$

$y = x + 5$

$2y - x = 7$

$2(x + 5) - x = 7$

$2x + 10 - x = 7$

$x = -3$

正しくは、$10x + y = 10y + x + 45$だった場合、

$9x - 9y = 45$

$x - y = 5$

$x = y + 5$

$2y - x = 7$に代入すると

$2y - (y + 5) = 7$

$y - 5 = 7$

$y = 12$

問題文に誤植はないか確認する。

「十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる自然数は、もとの自然数よりも45大きくなります」

問題文の通りだとすると、$x > y$

$x - 2y = 7$とした場合、$x = 2y + 7$

$x - y = 5$より、$x = y + 5$

$2y + 7 = y + 5$

$y = -2$

$x - 2y = -7$とした場合、$x = 2y - 7$

$x - y = 5$より、$x = y + 5$

$2y - 7 = y + 5$

$y = 12$

一の位の数が十の位の数よりも大きいならば

$y - x = 5$

$2y - x = 7$

$y = x + 5$

$2(x + 5) - x = 7$

$2x + 10 - x = 7$

$x = -3$

これは不適

$x - 2y = 7$

$y - x = 5$

$y = x + 5$

$x - 2(x + 5) = 7$

$x - 2x - 10 = 7$

$-x = 17$

$x = -17$

これは不適

仮に、$2x - y = 7$

$x - y = 5$

連立して解くと、

$x = 2$

$y = -3$

これも不適

仮に、$2x - y = 7$

$y - x = 5$

連立して解くと、

$x = 12$

$y = 17$

これも不適

問題文にミスがあるとして、一の位の数の2倍に十の位の数を足した値から十の位の数の2倍に一の位の数を足した値を引くと7になるという条件に修正すると、

$2y + x - (2x + y) = 7$

$y - x = 7$

$y - x = 5$より、矛盾。

問題文に誤りがある可能性が高いと判断し、解けない。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、解けません。