2桁の自然数がある。その自然数の1の位の数の2倍から10の位の数の3倍を引いた差は7である。また、10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる自然数は、元の自然数より45大きくなる。 (1) 元の自然数の10の位の数を$x$、1の位の数を$y$として、元の自然数を$x, y$を使って表しなさい。 (2) (1)を用いて連立方程式を作り、元の自然数を求めなさい。

1. 問題の内容

2桁の自然数がある。その自然数の1の位の数の2倍から10の位の数の3倍を引いた差は7である。また、10の位の数と1の位の数を入れ替えてできる自然数は、元の自然数より45大きくなる。

(1) 元の自然数の10の位の数を$x$、1の位の数を$y$として、元の自然数を$x, y$を使って表しなさい。

(2) (1)を用いて連立方程式を作り、元の自然数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 元の自然数は、10の位が$x$、1の位が$y$なので、$10x + y$と表される。

(2)

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

* 1の位の数の2倍から10の位の数の3倍を引いた差は7:

$2y - 3x = 7$

* 10の位と1の位を入れ替えた自然数は元の自然数より45大きい:

$10y + x = 10x + y + 45$

これを連立方程式として解く。

まず、$10y + x = 10x + y + 45$を変形する。

$9y - 9x = 45$

$y - x = 5$

$y = x + 5$

これを$2y - 3x = 7$に代入する。

$2(x + 5) - 3x = 7$

$2x + 10 - 3x = 7$

$-x = -3$

$x = 3$

$y = x + 5$に$x = 3$を代入する。

$y = 3 + 5$

$y = 8$

したがって、元の自然数は$10x + y = 10(3) + 8 = 38$である。

3. 最終的な答え

(1) $10x + y$

(2) 元の自然数は38