ある商品を定価の20%引きで売ったところ、仕入れ値の12%の利益が得られた。 問い：この商品の定価はいくらか。 ア：定価で売ると、180円の利益が得られる。 イ：定価の30%引きで売ると、9円の損失になる。 ア、イの情報のうち、どちらの情報があれば定価が分かるかをA~Eの中から選ぶ。

1. 問題の内容

ある商品を定価の20%引きで売ったところ、仕入れ値の12%の利益が得られた。

問い：この商品の定価はいくらか。

ア：定価で売ると、180円の利益が得られる。

イ：定価の30%引きで売ると、9円の損失になる。

ア、イの情報のうち、どちらの情報があれば定価が分かるかをA~Eの中から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、定価を $x$ 円、仕入れ値を $y$ 円とおきます。

問題文より、定価の20%引きで売ると仕入れ値の12%の利益が得られるので、

$0.8x = 1.12y$

アの情報より、定価で売ると180円の利益が得られるので、

$x = y + 180$

イの情報より、定価の30%引きで売ると9円の損失が出るので、

$0.7x = y - 9$

アの情報のみの場合、$x = y + 180$ より $y = x - 180$。これを $0.8x = 1.12y$ に代入すると、

$0.8x = 1.12(x - 180)$

$0.8x = 1.12x - 1.12 \times 180$

$0.32x = 1.12 \times 180$

$x = \frac{1.12 \times 180}{0.32} = \frac{1.12 \times 180 \times 100}{32} = \frac{112 \times 180}{32} = \frac{7 \times 180}{2} = 7 \times 90 = 630$

よって、アの情報のみで定価は630円と求まります。

イの情報のみの場合、$0.7x = y - 9$ より $y = 0.7x + 9$。これを $0.8x = 1.12y$ に代入すると、

$0.8x = 1.12(0.7x + 9)$

$0.8x = 0.784x + 1.12 \times 9$

$(0.8 - 0.784)x = 1.12 \times 9$

$0.016x = 1.12 \times 9$

$x = \frac{1.12 \times 9}{0.016} = \frac{1.12 \times 9 \times 1000}{16} = \frac{112 \times 9 \times 10}{16} = \frac{7 \times 9 \times 10}{1} = 630$

よって、イの情報のみでも定価は630円と求まります。

したがって、アだけでも、イだけでも定価を求めることが可能です。

3. 最終的な答え

D