与えられた式 $4x^2 + y^2 + y - 3 = 0$ を標準形に変形し、どのような図形を表すか特定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + y^2 + y - 3 = 0$ を標準形に変形し、どのような図形を表すか特定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$に関する項を平方完成します。

$y^2 + y = (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、元の式は以下のように書き換えられます。

$4x^2 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 3 = 0$

$4x^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}$

両辺を$\frac{13}{4}$で割ると、以下のようになります。

$\frac{4x^2}{\frac{13}{4}} + \frac{(y + \frac{1}{2})^2}{\frac{13}{4}} = 1$

$\frac{x^2}{\frac{13}{16}} + \frac{(y + \frac{1}{2})^2}{\frac{13}{4}} = 1$

これは楕円の標準形です。中心は$(0, -\frac{1}{2})$、長軸の長さは$2\sqrt{\frac{13}{4}} = \sqrt{13}$、短軸の長さは$2\sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$です。

3. 最終的な答え

与えられた式は楕円を表します。中心は$(0, -\frac{1}{2})$、長軸の長さは$\sqrt{13}$、短軸の長さは$\frac{\sqrt{13}}{2}$です。

楕円の標準形は$\frac{x^2}{\frac{13}{16}} + \frac{(y + \frac{1}{2})^2}{\frac{13}{4}} = 1$となります。