与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。関数は以下の通り定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x} & (x \neq 0) \\ -1 & (x = 0) \end{cases}$ また、$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2+2x}{x^2-2x} = AB = f(0)$ となっています。A, B, Cに入るべき値を求め、連続かどうかを判断します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。関数は以下の通り定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x} & (x \neq 0) \\

-1 & (x = 0)

\end{cases}$

また、$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2+2x}{x^2-2x} = AB = f(0)$ となっています。A, B, Cに入るべき値を求め、連続かどうかを判断します。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x}$ を計算します。

$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x} = \frac{x(x + 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x - 2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{0 + 2}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1$

よって、$AB = -1$ となります。

$f(0) = -1$ であるため、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = -1$ が成り立ちます。

連続であるための条件は、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つことです。この場合、条件を満たしているので、関数は$x=0$で連続です。

3. 最終的な答え

A: - (マイナス)

B: 1

C: ある