関数 $y = -(x-a)^2 + 5$ について、 $-4 \le x \le 0$ の範囲における最小値を求め、以下の空欄を埋める問題です。 (i) $a < ?$ のとき、$x = ?$ で最小値 $?$ (ii) $? \le a$ のとき、$x = ?$ で最小値 $?$

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-a)^2 + 5$ について、 $-4 \le x \le 0$ の範囲における最小値を求め、以下の空欄を埋める問題です。

(i) $a < ?$ のとき、$x = ?$ で最小値 $?$

(ii) $? \le a$ のとき、$x = ?$ で最小値 $?$

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$y = -(x-a)^2 + 5$ であり、これは上に凸の二次関数です。軸は $x = a$ です。定義域は $-4 \le x \le 0$ です。

(i) $a < -4$ のとき

このとき、軸は定義域よりも左側にあります。したがって、$x$ が大きいほど $y$ の値は小さくなります。よって、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = -(0 - a)^2 + 5 = -a^2 + 5$ です。

(ii) $-4 \le a \le 0$ のとき

このとき、軸は定義域の中にあります。したがって、$x = -4$ または $x = 0$ で最小値をとります。

$x = -4$ のとき、$y = -(-4 - a)^2 + 5 = -(a+4)^2 + 5 = -(a^2 + 8a + 16) + 5 = -a^2 - 8a - 11$

$x = 0$ のとき、$y = -(0 - a)^2 + 5 = -a^2 + 5$

$-4 \le a \le 0$ であるので、$-a^2 - 8a - 11$ と $-a^2 + 5$ の大小を比較します。

$(-a^2 + 5) - (-a^2 - 8a - 11) = 8a + 16 = 8(a+2)$

$a = -2$ のとき、2つの値は等しくなります。

$a < -2$ のとき、$-a^2 - 8a - 11 < -a^2 + 5$ より、$x = -4$ のとき最小値になります。

$a > -2$ のとき、$-a^2 - 8a - 11 > -a^2 + 5$ より、$x = 0$ のとき最小値になります。

$a < -2$ と $a \ge -2$ で場合分けします。

(i) $-4 \le a < -2$ のとき、$x = -4$ で最小値 $y = -(a+4)^2 + 5 = -a^2 - 8a - 11$

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $y = -a^2 + 5$

まとめて書くと

(i) $a < -2$ のとき、$x = -4$ で最小値 $-a^2 - 8a - 11$

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-a^2 + 5$

問題の形式に従い、さらに場合分けをする必要があるかを確認します。

範囲としては、$-4 \le x \le 0$ です。

$x = a$ が定義域に含まれない時、$x = -4$ または $x = 0$ で最小値を取ります。

$x = a$ が定義域に含まれる時、$y$ は最大値を取ります。最小値は、$x = -4$ または $x = 0$ で取ります。

元の問題文の空欄から、aの範囲によって、xの値が変わる、という形式なので、次のようになります。

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-a^2 + 5$

ii) $-4 \le a \le 0$のとき、$x = -4$ で最小値 $-a^2 - 8a - 11$、もしくは、$x = 0$ で最小値 $-a^2 + 5$。

最小値は、上記で求めたように、$a < -2$なら$x = -4$、$a > -2$なら$x = 0$となる。

したがって、以下の回答となります。

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-a^2+5$

ii) $-4 \le a$ のとき、$x = -4$ で最小値 $-(a+4)^2+5$ ($=-a^2-8a-11$)

i) $a < -4$のとき、$x=0$ で最小値 $-a^2+5$

ii) $-4 \le a \le 0$のとき、$x=0$ で最小値 $-a^2+5$

問題文から、0までしかaは大きくならないようなので、

ii) $-4 \le a$ のとき、$x=0$で最小値$-a^2+5$

ではなく、

ii) $-4 \le a$ のとき、$x=-4$で最小値$-(a+4)^2+5$

と考えるべきかと思います。

最終解答:

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-a^2+5$

ii) $-4 \le a$ のとき、$x = -4$ で最小値 $-(a+4)^2+5$