$5+2\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $a^2 - b^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$5+2\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $a^2 - b^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{7}$ の値を評価します。

$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$ です。

したがって、$4 < 2\sqrt{7} < 6$ となります。

$5+4 < 5+2\sqrt{7} < 5+6$ より、$9 < 5+2\sqrt{7} < 11$ です。

さらに詳しく、$2\sqrt{7}$ の範囲を絞り込みます。

$\sqrt{7} \approx 2.646$ であるから、$2\sqrt{7} \approx 5.292$ となり、$5 < 2\sqrt{7} < 6$ がより正確な範囲となります。

すると、$5+5 < 5+2\sqrt{7} < 5+6$ より、$10 < 5+2\sqrt{7} < 11$ です。

したがって、整数部分 $a$ は 10 となります。

$5+2\sqrt{7}$ の小数部分 $b$ は、全体から整数部分を引くことで求められます。

$b = (5+2\sqrt{7}) - a = (5+2\sqrt{7}) - 10 = 2\sqrt{7} - 5$

最後に、$a^2 - b^2$ の値を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a+b = 10 + (2\sqrt{7} - 5) = 5 + 2\sqrt{7}$

$a-b = 10 - (2\sqrt{7} - 5) = 15 - 2\sqrt{7}$

したがって、

$a^2 - b^2 = (5 + 2\sqrt{7})(15 - 2\sqrt{7}) = 5(15) + 2\sqrt{7}(15) - 5(2\sqrt{7}) - (2\sqrt{7})^2$

$= 75 + 30\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 4(7) = 75 + 20\sqrt{7} - 28 = 47 + 20\sqrt{7}$

$a^2 - b^2 = a^2 - (5+2\sqrt{7} - a)^2 = 100-(2\sqrt{7}-5)^2 = 100-(28-20\sqrt{7}+25)=100-53+20\sqrt{7}=47+20\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$a = 10$

$b = 2\sqrt{7} - 5$

$a^2 - b^2 = 47 + 20\sqrt{7}$