次の数の大小を不等号を用いて表す問題です。 与えられた数は、$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ です。

1. 問題の内容

次の数の大小を不等号を用いて表す問題です。

与えられた数は、$\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ です。

2. 解き方の手順

各数を同じ指数を持つ累乗根の形で表し、根号の中身を比較します。

まず、各数をそれぞれ$x$, $y$, $z$と置きます。

$x = \sqrt[4]{32} = (32)^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$y = \sqrt[3]{16} = (16)^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$z = \sqrt{8} = (8)^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

指数の$\frac{5}{4}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$を通分します。

最小公倍数は12なので、

$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$

$\frac{3}{2} = \frac{18}{12}$

したがって、

$x = 2^{\frac{15}{12}} = (2^{15})^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{2^{15}}$

$y = 2^{\frac{16}{12}} = (2^{16})^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{2^{16}}$

$z = 2^{\frac{18}{12}} = (2^{18})^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{2^{18}}$

指数が同じになったので、根号の中身を比較します。

$2^{15} < 2^{16} < 2^{18}$

したがって、$x < y < z$ です。

つまり、$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$