不等式 $0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を5を底とする指数で表します。

左辺は $0.2^{x-2} = (\frac{1}{5})^{x-2} = 5^{-(x-2)} = 5^{2-x}$ となります。

右辺は $\frac{1}{5\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5^1 \cdot 5^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{4}{3}}$ となります。

したがって、不等式は $5^{2-x} < 5^{-\frac{4}{3}}$ と書き換えられます。

底が5で1より大きいので、指数部分の大小関係も元の不等号の向きと同じになります。

よって、$2-x < -\frac{4}{3}$ が成り立ちます。

この不等式を解くと、$2 + \frac{4}{3} < x$ となり、$\frac{6}{3} + \frac{4}{3} < x$ より、$\frac{10}{3} < x$ となります。

つまり、$x > \frac{10}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$x > \frac{10}{3}$