数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

階差数列を考えることで一般項を求めます。

与えられた数列を $\{a_n\}$ とします。

$a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 7, a_4 = 16, a_5 = 32, a_6 = 57, a_7 = 93, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義します。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 16 - 7 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 32 - 16 = 16$

$b_5 = a_6 - a_5 = 57 - 32 = 25$

$b_6 = a_7 - a_6 = 93 - 57 = 36$

したがって、$b_n = n^2$ と推測できます。

次に、数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ を $c_n = b_{n+1} - b_n$ と定義します。

$c_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$

数列 $\{c_n\}$ の階差数列 $\{d_n\}$ を $d_n = c_{n+1} - c_n$ と定義します。

$d_n = 2(n+1) + 1 - (2n + 1) = 2n + 2 + 1 - 2n - 1 = 2$

数列$\{a_n\}$の一般項を階差数列を用いて表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6}$

$a_n = 2 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{12 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{2 - 3 + 1 + 12}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$n=2$のとき、$a_2 = \frac{16 - 12 + 2 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$n=3$のとき、$a_3 = \frac{54 - 27 + 3 + 12}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$n=4$のとき、$a_4 = \frac{128 - 48 + 4 + 12}{6} = \frac{96}{6} = 16$

$n=5$のとき、$a_5 = \frac{250 - 75 + 5 + 12}{6} = \frac{192}{6} = 32$

$n=6$のとき、$a_6 = \frac{432 - 108 + 6 + 12}{6} = \frac{342}{6} = 57$

$n=7$のとき、$a_7 = \frac{686 - 147 + 7 + 12}{6} = \frac{558}{6} = 93$

よって、一般項は

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 12}{6}$