関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ について、 $-2 \le x \le 4$ の範囲における最小値を求める問題です。$a$ の値によって最小値をとる $x$ の値が変わるため、場合分けをして考える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ について、 $-2 \le x \le 4$ の範囲における最小値を求める問題です。$a$ の値によって最小値をとる $x$ の値が変わるため、場合分けをして考える必要があります。

2. 解き方の手順

関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ は、上に凸な2次関数であり、軸は $x = a$ です。定義域が $-2 \le x \le 4$ であることを考慮し、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a < -2$ のとき

軸が定義域よりも左にあるため、$x$ が大きくなるほど $y$ の値は小さくなります。したがって、$x = 4$ で最小値をとります。最小値は $y = -3(4-a)^2 + 12$ です。

(ii) $-2 \le a \le 4$ のとき

軸が定義域内にあるため、頂点で最大値をとります。最小値は、定義域の端点 $x = -2$ または $x = 4$ でとります。

$x = -2$ のとき、$y = -3(-2-a)^2 + 12$

$x = 4$ のとき、$y = -3(4-a)^2 + 12$

$(-2-a)^2 = (a+2)^2$ と $(4-a)^2$ を比較します。$a$ が定義域の中央の値 1 より小さい場合は、$x=4$のほうが軸から遠く、$a$ が 1 より大きい場合は、$x=-2$ のほうが軸から遠い。$a=1$ の場合は、$x=4$と$x=-2$ のときの$y$の値は等しい。よって、$x = 4$ で最小値をとるような$a$の範囲を考えます。

$a<1$ とすれば$x=4$ で最小。

$x=-2$の場合は、$a>1$

したがって、$a>1$ のとき、$x=-2$で最小。

$y = -3(-2-a)^2 + 12 = -3(a+2)^2 + 12$

$a=1$ の場合、$y = -3(4-1)^2 + 12 = -3(3)^2 + 12 = -27+12 = -15$

$y = -3(-2-1)^2 + 12 = -3(-3)^2 + 12 = -27+12 = -15$

$a=1$ の場合，$x=-2,4$ で最小値-15をとる。

したがって $-2 \le a \le 1$ ならば $x=4$の時最小値

$1 \le a \le 4$ ならば $x=-2$の時最小値

(iii) $4 < a$ のとき

軸が定義域よりも右にあるため、$x$ が小さくなるほど $y$ の値は小さくなります。したがって、$x = -2$ で最小値をとります。最小値は $y = -3(-2-a)^2 + 12$ です。

問題文から、$i),ii)$ の場合分けのみを考慮すればよいです。

i) $a < -2$ のとき、$x=4$ で最小値 $-3(4-a)^2+12$ をとる。

ii) $-2 \le a \le 4$ のとき、$a$ の値によって、$x=4$もしくは、$x=-2$で最小値をとる。

$a < 1$ ならば$x=4$ で最小。

最終解答は

i) $a < 1$ のとき、$x=4$ で最小値をとる

ii) $1 \le a$ のとき、$x=-2$で最小値をとる

3. 最終的な答え

i) $a < 1$ のとき、$x = 4$

ii) $1 \le a$ のとき、$x = -2$