与えられた2次関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ の $-2 \le x \le 4$ における最小値を求めます。ただし、$a$ は定数です。$a$ の範囲によって最小値を与える $x$ の値と最小値が異なるので、それぞれのケースで答えを求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ の $-2 \le x \le 4$ における最小値を求めます。ただし、$a$ は定数です。$a$ の範囲によって最小値を与える $x$ の値と最小値が異なるので、それぞれのケースで答えを求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = -3(x-a)^2 + 12$ のグラフについて考えます。これは上に凸な放物線で、軸は $x=a$ です。

定義域は $-2 \le x \le 4$ です。

(i) $a < 1$ のとき、軸 $x=a$ は定義域の中央 $x=1$ より左にあります。

この場合、定義域の右端である $x=4$ で最小値を取ります。

$x=4$ を代入すると、

$y = -3(4-a)^2 + 12 = -3(16 - 8a + a^2) + 12 = -48 + 24a - 3a^2 + 12 = -3a^2 + 24a - 36$

(ii) $1 \le a$ のとき、軸 $x=a$ は定義域の中央 $x=1$ より右にあります。

この場合、定義域の左端である $x=-2$ で最小値を取ります。

$x=-2$ を代入すると、

$y = -3(-2-a)^2 + 12 = -3(4 + 4a + a^2) + 12 = -12 - 12a - 3a^2 + 12 = -3a^2 - 12a$

3. 最終的な答え

i) $a < 1$ のとき、$x=4$ で最小値 $-3a^2 + 24a - 36$

ii) $1 \le a$ のとき、$x=-2$ で最小値 $-3a^2 - 12a$