複素数 $a$, $b$, $c$ が $a^2 + b^2 + c^2 = 2$, $a^3 + b^3 + c^3 = 0$, $abc = 1$ を満たすとき、$x = a + b + c$ とするとき、$x^3 - 6x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $a$, $b$, $c$ が $a^2 + b^2 + c^2 = 2$, $a^3 + b^3 + c^3 = 0$, $abc = 1$ を満たすとき、$x = a + b + c$ とするとき、$x^3 - 6x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ を計算する。

$x^2 = (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = 2 + 2(ab+bc+ca)$

したがって、

$ab+bc+ca = \frac{x^2 - 2}{2}$

次に、$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ を用いる。

$0 - 3(1) = x(2 - \frac{x^2 - 2}{2})$

$-3 = x(\frac{4 - x^2 + 2}{2})$

$-6 = x(6 - x^2)$

$-6 = 6x - x^3$

$x^3 - 6x = 6$

3. 最終的な答え

$x^3 - 6x = 6$