次の等式を証明する問題です。 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$

2. 解き方の手順

右辺を展開して左辺と一致することを示します。

まず、右辺の$(a-b)^2$, $(b-c)^2$, $(c-a)^2$を展開します。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$

$(c-a)^2 = c^2 - 2ca + a^2$

これらを足し合わせます。

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

次に、この結果を$\frac{1}{2}$倍します。

$\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\} = \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)$

$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$

これは左辺と一致します。

よって、与えられた等式は証明されました。

画像中の空欄を埋めると以下のようになります。

ア：2

イ：2

ウ：2

(右辺)$=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)$

$=\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$

$=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$

=(左辺)

3. 最終的な答え

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$