与えられた条件 $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のもとで、等式 $\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca}$ を証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させる必要があります。

1. 問題の内容

与えられた条件 $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のもとで、等式 $\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca}$ を証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させる必要があります。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ とおきます。このとき、$x = ak$, $y = bk$, $z = ck$ となります。

左辺を計算します。

$\frac{x^2 - y^2 - z^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{(ak)^2 - (bk)^2 - (ck)^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{a^2k^2 - b^2k^2 - c^2k^2}{a^2 - b^2 - c^2} = \frac{k^2(a^2 - b^2 - c^2)}{a^2 - b^2 - c^2} = k^2$

右辺を計算します。

$\frac{xy - yz - zx}{ab - bc - ca} = \frac{(ak)(bk) - (bk)(ck) - (ck)(ak)}{ab - bc - ca} = \frac{abk^2 - bck^2 - cak^2}{ab - bc - ca} = \frac{k^2(ab - bc - ca)}{ab - bc - ca} = k^2$

したがって、左辺と右辺は等しく、$k^2$となります。

3. 最終的な答え

コ: $ak$

サ: $bk$

シ: $ck$

ス: $(ck)^2$

セ: $k^2$

ソ: $bk$

タ: $ak$

チ: $k^2$

ツ: $k^2$