関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 3$ の $-4 \le x \le 0$ における最大値を求める問題です。最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + 3 = (x - a)^2 + 3$

このグラフは下に凸な放物線で、軸は $x = a$ です。定義域は $-4 \le x \le 0$ であるため、軸の位置によって最大値を与える $x$ の値が変わります。

i) $a < -4$ のとき、軸は定義域の左側にあるので、$x=0$ で最大値を取ります。

このとき、$y = (0-a)^2 + 3 = a^2 + 3$ となります。

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、軸は定義域の中にあるので、$x=-4$ で最大値を取ります。

このとき、$y = (-4-a)^2 + 3 = (a+4)^2 + 3 = a^2 + 8a + 16 + 3 = a^2 + 8a + 19$ となります。

3. 最終的な答え

i) $a < -4$ のとき、$x = 0$ で最大値 $a^2 + 3$

ii) $-4 \le a \le 0$ のとき、$x = -4$ で最大値 $a^2 + 8a + 19$