与えられた関数 $y = (x-1)(3x+1)(5x-1)$ を積の微分法を用いて微分し、$y' = AE x^2 - FGx - H$ の形式で表すとき、$A, B, C, D, E, F, G, H$ に当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x-1)(3x+1)(5x-1)$ を積の微分法を用いて微分し、$y' = AE x^2 - FGx - H$ の形式で表すとき、$A, B, C, D, E, F, G, H$ に当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。$y = uvw$ のとき、$y' = u'vw + uv'w + uvw'$ である。

$u = x-1, v = 3x+1, w = 5x-1$ とすると、

$u' = 1, v' = 3, w' = 5$ となる。

したがって、

$y' = (1)(3x+1)(5x-1) + (x-1)(3)(5x-1) + (x-1)(3x+1)(5)$

$= (15x^2 + 2x - 1) + (3)(5x^2 - 6x + 1) + (5)(3x^2 - 2x - 1)$

$= 15x^2 + 2x - 1 + 15x^2 - 18x + 3 + 15x^2 - 10x - 5$

$= (15+15+15)x^2 + (2-18-10)x + (-1+3-5)$

$= 45x^2 - 26x - 3$

よって、$y' = A (3x+1)(5x-1) + (x-1) B (5x-1) + (x-1)(3x+1) C = DE x^2 - FG x - H$

$A = 1, B = 3, C = 5$

$D = 4, E = 5, F = 2, G = 6, H = 3$

3. 最終的な答え

$A = 1$

$B = 3$

$C = 5$

$D = 4$

$E = 5$

$F = 2$

$G = 6$

$H = 3$