定積分 $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x^2+3} dx$ を計算します。

$x = \sqrt{3} \tan{\theta}$ と置換します。

$dx = \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2+3} dx = \int \frac{1}{3\tan^2{\theta}+3} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3}\sec^2{\theta}}{3\sec^2{\theta}} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \int d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \theta + C$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} + C$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx = \left[\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} \right]_{-1}^{3}$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \arctan{\frac{3}{\sqrt{3}}} - \arctan{\frac{-1}{\sqrt{3}}} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \arctan{\sqrt{3}} - \arctan{\frac{-1}{\sqrt{3}}} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{2\pi + \pi}{6} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{3\pi}{6} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{2} \right)$

$= \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$