与えられた関数 $2x\sin{\frac{1}{x}}$ の $x \to 0$ における極限を求める問題です。ただし、$x \ne 0$です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $2x\sin{\frac{1}{x}}$ の $x \to 0$ における極限を求める問題です。ただし、$x \ne 0$です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = 2x\sin{\frac{1}{x}}$ の $x \to 0$ のときの極限を考えます。

$\sin$関数の値域は $-1 \le \sin{\theta} \le 1$ であることを利用します。

したがって、

$-1 \le \sin{\frac{1}{x}} \le 1$

が成り立ちます。

この不等式の各辺に $2x$ を掛けます。

ここで、$x$ の符号によって場合分けが必要です。

(i) $x > 0$ のとき

$-2x \le 2x\sin{\frac{1}{x}} \le 2x$

(ii) $x < 0$ のとき

$-2x \ge 2x\sin{\frac{1}{x}} \ge 2x$

つまり、

$2x \le 2x\sin{\frac{1}{x}} \le -2x$

いずれの場合も、$x \to 0$ とすると、

$\lim_{x\to 0} -2x = 0$

$\lim_{x\to 0} 2x = 0$

したがって、はさみうちの原理より

$\lim_{x\to 0} 2x\sin{\frac{1}{x}} = 0$

3. 最終的な答え

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