$2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ を簡略化します。

はい、承知いたしました。3つの問題を解きます。

**問題1 (10)**

1. 問題の内容

$2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

$\cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}} = \frac{\theta}{2}$ と置換します。

$\sqrt{\frac{x+1}{2}} = \cos \frac{\theta}{2}$となります。

両辺を2乗すると、$\frac{x+1}{2} = \cos^2 \frac{\theta}{2}$となります。

$x+1 = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$

$x = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = \cos \theta$

$\theta = \cos^{-1} x$

したがって、求める式は $2 \cdot \frac{\theta}{2} = \theta = \cos^{-1} x$となります。

3. 最終的な答え

$\cos^{-1} x$

**問題2 (11)**

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ の定義域を求めます。

2. 解き方の手順

根号の中身が0以上になる条件を求めます。つまり

$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \ge 0$

この不等式を解きます。

$x<1$ の時、$\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

$1<x<2$ の時、$\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$

$2<x<3$ の時、$\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$

$3<x<4$ の時、$\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$

$x>4$ の時、$\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$

また、$x=1$または$x=2$の場合、分子は0となるため、値は0となります。

$x=3$または$x=4$の場合、分母が0となるため定義できません。

したがって、$x \le 1$ または $2 \le x < 3$ または $x > 4$ が定義域です。

3. 最終的な答え

$x \le 1$ または $2 \le x < 3$ または $x > 4$

**問題3 (12)**

1. 問題の内容

$x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$ を $x$ で微分します。ただし、$a>0$。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} \left( x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} \right)$ を計算します。

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} (x\sqrt{a^2-x^2}) = \sqrt{a^2-x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} (-2x) = \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$\frac{d}{dx} (a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}) = a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

したがって、

$\frac{d}{dx} \left( x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} = 2\sqrt{a^2-x^2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{a^2-x^2}$