与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x}

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2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用することができます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

$f(x) = e^x + e^{-x} - 2$ と $g(x) = x$ とします。

それぞれの微分を計算します。

$f'(x) = e^x - e^{-x}$

$g'(x) = 1$

したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1}

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この極限を計算すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1} = e^0 - e^{-0} = 1 - 1 = 0

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3. 最終的な答え

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