300から500までの自然数について、次の問いに答える問題です。 (1) 5の倍数の個数とその和を求める。 (2) 3の倍数でない数の個数とその和を求める。 (3) 6で割ると4余る数の個数とその和を求める。 (4) 7で割ると2余る数の個数とその和を求める。

1. 問題の内容

300から500までの自然数について、次の問いに答える問題です。

(1) 5の倍数の個数とその和を求める。

(2) 3の倍数でない数の個数とその和を求める。

(3) 6で割ると4余る数の個数とその和を求める。

(4) 7で割ると2余る数の個数とその和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数について

300から500までの5の倍数は、300, 305, 310, ..., 500です。

これは初項300、末項500、公差5の等差数列です。

項数をnとすると、

$500 = 300 + (n-1)5$

$200 = 5(n-1)$

$40 = n-1$

$n = 41$

よって、5の倍数は41個です。

これらの和Sは、等差数列の和の公式より、

$S = \frac{n(初項 + 末項)}{2} = \frac{41(300 + 500)}{2} = \frac{41 \times 800}{2} = 41 \times 400 = 16400$

(2) 3の倍数でない数について

300から500までの自然数は、300, 301, 302, ..., 500です。

全体の個数は、500 - 300 + 1 = 201個です。

300から500までの3の倍数は、300, 303, 306, ..., 498です。

これは初項300、末項498、公差3の等差数列です。

項数をmとすると、

$498 = 300 + (m-1)3$

$198 = 3(m-1)$

$66 = m-1$

$m = 67$

よって、3の倍数は67個です。

3の倍数でない数は、201 - 67 = 134個です。

300から500までの自然数の和は、

$\frac{201(300 + 500)}{2} = \frac{201 \times 800}{2} = 201 \times 400 = 80400$

300から500までの3の倍数の和は、

$\frac{67(300 + 498)}{2} = \frac{67 \times 798}{2} = 67 \times 399 = 26733$

3の倍数でない数の和は、80400 - 26733 = 53667

(3) 6で割ると4余る数について

300から500までの6で割ると4余る数は、304, 310, 316, ..., 496です。

これは初項304、末項496、公差6の等差数列です。

項数をpとすると、

$496 = 304 + (p-1)6$

$192 = 6(p-1)$

$32 = p-1$

$p = 33$

よって、6で割ると4余る数は33個です。

これらの和Sは、等差数列の和の公式より、

$S = \frac{p(初項 + 末項)}{2} = \frac{33(304 + 496)}{2} = \frac{33 \times 800}{2} = 33 \times 400 = 13200$

(4) 7で割ると2余る数について

300から500までの7で割ると2余る数は、303, 310, 317, ..., 499です。

これは初項303、末項499、公差7の等差数列です。

項数をqとすると、

$499 = 303 + (q-1)7$

$196 = 7(q-1)$

$28 = q-1$

$q = 29$

よって、7で割ると2余る数は29個です。

これらの和Sは、等差数列の和の公式より、

$S = \frac{q(初項 + 末項)}{2} = \frac{29(303 + 499)}{2} = \frac{29 \times 802}{2} = 29 \times 401 = 11629$

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数：41個、和は16400

(2) 3の倍数でない数：134個、和は53667

(3) 6で割ると4余る数：33個、和は13200

(4) 7で割ると2余る数：29個、和は11629