$a$ を正の実数とする。関数 $f(\theta)$ が $f(\theta) = \sin 2\theta - 2a(\sin \theta + \cos \theta) + 2$ ($0 \le \theta < 2\pi$) で定義される。$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\theta$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲を変化するとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表せ。 (3) 方程式 $|f(\theta)| = 1$ がちょうど 4 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。関数 $f(\theta)$ が $f(\theta) = \sin 2\theta - 2a(\sin \theta + \cos \theta) + 2$ ($0 \le \theta < 2\pi$) で定義される。$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\theta$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲を変化するとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表せ。

(3) 方程式 $|f(\theta)| = 1$ がちょうど 4 つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ を変形する。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \le 1$

よって $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。

$t = \sin \theta + \cos \theta$ より $t^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = t^2 - 1$

したがって

$f(\theta) = \sin 2\theta - 2a (\sin \theta + \cos \theta) + 2 = (t^2 - 1) - 2at + 2 = t^2 - 2at + 1$

(3) $|f(\theta)| = 1$ より $|t^2 - 2at + 1| = 1$

$t^2 - 2at + 1 = 1$ または $t^2 - 2at + 1 = -1$

$t(t - 2a) = 0$ または $t^2 - 2at + 2 = 0$

$t = 0, 2a$ または $t = a \pm \sqrt{a^2 - 2}$

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ より、一つの $t$ の値に対応する $\theta$ の個数を考える。

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ において、

$t = \pm \sqrt{2}$ のとき $\theta$ は 1 つ

$-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ のとき $\theta$ は 2 つ

$t = 0$ は $-\sqrt{2} < 0 < \sqrt{2}$ を満たすので、$\theta$ は 2 つ。

$|f(\theta)| = 1$ がちょうど 4 つの実数解をもつためには、$t$ の解が異なり、$0$ と $2a$ のうち一つは $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ の範囲にある必要がある。

(i) $t=0$ の時

$t=0$の時、$a-\sqrt{a^2-2}$ か $a+\sqrt{a^2-2}$のどちらかが$0$の場合、$t$の実数解の個数が3つになる。

よって、$a^2 - 2 = 0$, $a = \sqrt{2}$

また、$2a$ が $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ を満たす場合、$a-\sqrt{a^2-2}$ または $a+\sqrt{a^2-2}$の少なくともどちらかは$-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$を満たす必要がある。

$a - \sqrt{a^2-2} = -\sqrt{2}$を解くと$a = \sqrt{2}$となる。

$a + \sqrt{a^2-2} = \sqrt{2}$を解くと$a = \sqrt{2}$となる。

(ii) $t = 2a$ の時

$2a$ が $-\sqrt{2} < 2a < \sqrt{2}$ を満たす場合、$t=2a$から実数解$\theta$が2個出てくる。

つまり、$-\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$

しかし、$a > 0$ であるから $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

そして、$a - \sqrt{a^2 - 2}$ と $a + \sqrt{a^2 - 2}$ からの解は、それぞれ $a > \sqrt{2}$ のとき実数解を持つので条件を満たさない。

最後に、$t=0$と$t=2a$の両方が$-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$の範囲にあることが必要なので、

$0 < 2a < \sqrt{2}$, $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a - \sqrt{a^2 - 2}$ と $a + \sqrt{a^2 - 2}$ のどちらか片方のみが $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ を満たす場合を探す。

$a > \sqrt{2}$ を考えると、$a - \sqrt{a^2 - 2}$ は常に正の値を取る。

また、$a > \sqrt{2}$ において $a + \sqrt{a^2 - 2} > \sqrt{2}$ となる。

よって、$a - \sqrt{a^2 - 2} < \sqrt{2}$ となるような $a$ の範囲を探す。

$a - \sqrt{a^2 - 2} > -\sqrt{2}$ となる $a$ の条件は常に成り立つ。

$-\sqrt{2} < a - \sqrt{a^2 - 2} < \sqrt{2}$ を $t = 2a$ と $t=0$ の場合に当てはめると、

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、$t = 0, 2a$ から $\theta$ は 4 個

$a = \sqrt{2}$のとき、$t = 0, 2\sqrt{2}$ となり $2\sqrt{2} > \sqrt{2}$であるため、$t=0$のみが条件を満たす。

$f(a)=0$の条件より$a = \pm \sqrt{\sqrt{2}-1}$

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$